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73 名前:ななし [2002/04/11(木) 01:52]
>さっぽろ
なるほどー。全然分らんかったです・・・。
じゃあ、自分からも1問。大した問題ではないですが。
-----------------------------------------------------
3個のサイコロを同時に振り、出た目を小さい順にk,l,mとする。
このとき
(1)k,l,mが三角形の3辺の長さとなるための条件を1つの式で表せ。

(2) (1)の条件のもとで得られる三角形は全部で何種類あるか答えよ。
  ただし互いに合同な三角形は同じものとみなす。
-------------------------------------------------------------

たしか、結構昔の国公立のどっかの問題かなんかだったと思います。
74 名前:札幌校フェロー [2002/04/11(木) 02:30]
>>72
簡単すぎましたか。完璧です。
>>73
(1)三角形の成立条件よりm<k+l
(2)m=1のときk≦l≦m、m<k+lよりk=l=1の1こ
 m=2のとき同様に(k,l)=(1,2)(2,2)の2個
 m=3のとき(k,l)=(1,3)(2,2)(2,3)の3個
 m=4のとき(k,l)=(1,4)(2,3)(2,4)(3,3)(3,4)の5個
 m=5のとき(k,l)=(1,5)(2,4)(2,5)(3,3)(3,4)(3,5)(4,4)(4,5)の8個
 m=6のとき(k,l)=(1,6)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5)(5,6)(6,6)の12個
合計31個
数え間違ってなければ。これくらいならしらみつぶしにやっても大して手間じゃないかも。
75 名前:札幌校フェロー [2002/04/11(木) 02:33]
あ、m=3のときの(3,3)、m=4のときの(4,4)、m=5のときの(5,5)が抜けてる。
合計34個かな。
76 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/11(木) 09:14]
>>70
一応模範解答(?)です。
やはりフェローさんは只者ではなかった!!すごい

知り合い4人という人が居ると知り合い0は考えられないので1〜4の4通り
知り合い4人という人が居なければやはり0〜3の4通りしかない
よって5人に与えられた可能性は4通りなのでどれか重複
77 名前:札幌校フェロー [2002/04/11(木) 19:20]
ディリクレの原理(鳩の巣原理)ですね。
最初そっちで考えましたが、背理法の解答のほうが先にあっさりできてしまったのでそっちで行きました。
78 名前:ppm [2002/04/11(木) 20:13]
俺漏れも。
フェローに皆やられてるみたいだからまじ難しくしようかな。(笑


f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(3次以下の任意の多項式)について
-1≦x≦1におけるf(x)の平均をfを用いて表せ
79 名前:名も無きパズラー [2002/04/11(木) 20:14]
俺漏れも。
フェローに皆やられてるみたいだからまじ難しくしようかな。(笑


f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(3次以下の任意の多項式)について
-1≦x≦1におけるf(x)の平均をfを用いて表せ
80 名前:78=79 [2002/04/11(木) 20:14]
2重スマソ
81 名前:札幌校フェロー [2002/04/11(木) 21:18]
>>ppm
インテグラルは使ってokですか?
okならば「積分の平均値の定理」で一発で終わってしまうんですが・・・。
M=[1/{1-(-1)}]∫(-1から1)f(x)dx
 =(1/2)∫f(x)dx
これじゃだめでしょうか?
ちなみに上の式を計算すると平均はM=(1/b)+dとなりました。
82 名前:札幌校フェロー [2002/04/11(木) 21:25]
また間違った、どうも間違いが多くって。
M=(b/3)+dでした。
83 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/11(木) 22:18]
∫(-1to1){f(x)dx}=uf(s)+vf(t)
を考える。
(us^3+vt^3)a+(us^2+vt^2)b+(us+vt)c+(u+v)d
u〜tがa〜dによらない定数だとすれば任意のa〜dについて成り立つためには
us^3+vt^3=0
us^2+vt^2=2/3
us+vt=0
u+v=2
これらを解くとu=v=1でs=-1/√3、t=1/√3
つまりf(x)の平均はf(1/√3)=f(-1/√3)の平均である

これ使えないかな、、
84 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/11(木) 22:21]
ってフェローが簡単明快に答え出してるし(苦笑
85 名前:ななし [2002/04/11(木) 23:48]
それじゃあ、もう1問いきます。
------------------------------------------------
曲線y=X^3上の点P(a,a^3)における接線をl、
lが再びこの曲線と交わる点をQ、
Qにおけるこの曲線の接線をmとし、
2直線l,mがなす角のうち鋭角である方をθとする。
a>0であるとき、
θが最大になる時のaの値とtanθの値を求めよ。
------------------------------------------------
これはかなり難しいと思うのですが・・・。
86 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 00:11]
計算は省略します。lの傾き:3a^2(=tanθ1)、mの傾き:12a^2(=tanθ2)
tanθ=tan(θ2-θ1)=(tanの加法定理、省略)=(9a^2)/36a^2+1
tanθは単調に増加するから、θが最大⇔tanθが最大。
tanθの式の分子分母を9a^2(a>0)で割って、分母について相加相乗を使うと
tanθ≦3/4である。(等号はa=1/√6)
よってa=1/√6のときtanθ=3/4である。

tanθの最大値を出すとき相加相乗を使うと計算がぐっと楽になります。
87 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 00:59]
あぁ、ちなみにmの傾きは次のように出しました。
Qの接点のx座標をbとおく。x=aにおける接線をy=px+qとおくときx^3=px+q⇔x^3-px-q=0の3つの解がa,a,bであるから解と係数の関係より2a+b=0
∴b=-2a よってQにおける接線の傾きは3(-2a)^2=12a^2
解答用紙に書くときはこんな感じでしょうか。実際は3次関数の2次の係数が0のときは接点は公比-2の等比数列になっていることを知っているんで、暗算で12a^2を出してます。
88 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/12(金) 01:23]
リベンジ♪

[問題]
xの多項式f(x)があり任意の実数aに対して
f(x)-f(a)がつねにx^3-a^3で割りきれるとする
このときある多項式g(x)によってf(x)=g(x^3)と表せれることを示せ
89 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 02:44]
ん〜、対偶証明でどうでしょう。
f(x)=px^(3p+1)+qx^(3p)+rx^(3p-1)+・・・・とすると、
f(x)-f(a)=p{x^(3p+1)-a^(3p+1)}+q{x^(3p)-a^(3p)}+・・・・であり、
これはp{x^(3p+1)-a^(3p+1)}などの項がx^3-a^3で割り切れないので、f(x)-f(a)も割り切れない。
よって題意は示された。
だいぶ端折ってしまいましたが。ちと自信ないです。
90 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 02:48]
やべ、またやってしまった。文字pがダブってるし・・・。
何でこう毎回どうでもいい間違いするかなぁ。
91 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 02:58]
ところでななしさん、>>73の三角形の問題、答えはいくつでしたか?
92 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/12(金) 16:31]
>>89
>p{x^(3p+1)-a^(3p+1)}などの項がx^3-a^3で割り切れないので、

1 これをキチンと証明しないとダメ。
2 a(x), b(x) が x^3-a^3 で割り切れないからといって
  a(x)+b(x) が x^3-a^3 で割り切れないわけではない

このようなところが問題点でしょうか。
解答は今夜か明日にでも書きますのでがんばってください
93 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 19:07]
俺は降参します。て言うか前に書いた解答、なんとも恥ずかしいだめだめな解答じゃないですか。忘れてください。
どっかで見たことあるような気がするんですが、どこかの過去問ですか?

ppmさんの問題、もしかして昔の東大の問題を意識したものでしたか?確か東大の問題は素数さんの出だしでu,v,s,tを決定させて終わりの問題だったはずです。
もしそうなら、素数さんの解答のほうがppmさんの意図した解答だったのではないでしょうか。
94 名前:ppm [2002/04/12(金) 19:37]
>>92
f(x)=A(0)+A(1)x+A(2)x^2+・・・・・@
とするとA(1)=A(2)=0、A(4)=A(5)=0...を示す

a(x^3)=A(0)+A(3)x^3+A(6)x^6...
b(x^3)=A(1)+A(4)x^3+A(7)x^6..
c(x^3)=A(2)+A(5)x^3+A(8)x^6...
おけばf(x)=a(x^3)+xb(x^3)+(x^2)c(x^3)
と書けるからb(t)=c(t)=0を示せば良い。

f(x)-f(α)が任意のαについて(x^3-α^3)の倍数。
因数定理を考えP(t)について
P(t)-P(α)は(t-α)の倍数より
a(t)-a(α^3),b(t)-b(α^3)、c(t)-c(α^3)は(t-α^3)の倍数

これを用いてf(x)-f(α)を計算すると
=(x^3-α^3の倍数)+(x-α)b(α^3)+(x^2-α^2)c(α^3)

D(x)=(x-α)b(α^3)+(x^2-α^2)c(α^3)が常に(x^3-α^3)の倍数で
2次式であると考えて
D(x)-0⇔b(α^3)=c(α^3)=0
これが任意の実数αについて成立するので題意は示せされた

どうよ
95 名前:ppm [2002/04/12(金) 19:41]
>>93
そうそう東大の問題を改題しようとしたんだけどね(w
83の奴を実は意識していて本当は
「f(x)の平均はf(1/√3)の平均=f(-1/√3)の平均である事を示せ」
ってねらいだったんだけどそれだと簡単だからってんでやめたの。
96 名前:札幌校フェロー [2002/04/12(金) 20:37]
いや、すごいですね。自分も少しは数学ができると思ってましたがツワモノはいくらでもいるもんですね。
まだまだ自分も修行不足なようです。
97 名前:ななし [2002/04/12(金) 23:20]
>ふぇろー
73の三角形のヤツは、(1)(2)ともに正解です。

それから85のtanのヤツも正解です。
この問題は一橋の問題です。
ただ、難しくするために設問をちょっと変えちゃいました。
ほんとは
(1)tanθをaで表せ
(2)θが最大になる時のaの値とtanθの値を求めよ。
という問題だったのですが。。
いきなり(2)だけをやろうとすると、
「θが最大になる」に目が行くかなと思っていじったのですが・・・。(苦笑)
98 名前:名無しさん@通りすがり [2002/04/12(金) 23:56]
このスレ、かなり解析的になってますね‥‥算数も良いということで、閑話休題。
【問題】
Aさんはいつも最寄り駅から迎えの車で帰ります。
ある日、いつもより1時間早く駅に着いたので、途中まで歩き、
車に出くわした所から乗って帰ると、いつもより20分早く家に着きました。
Aさんの歩いた時間はいくらでしょう。
99 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/13(土) 11:00]
>>ppmさん
御見事!やられてしまいました(笑
いま思いつきましたがその解答方針ですと
合同式つかえば無理無く変形できるかもしれませんね。
別解もありますから考えてみてください
>>フェローさん
これは大阪大学の問題ですね。
有名問題なのかな・・・
100 名前:173人目の素数 ◆mLBkcHKc [2002/04/13(土) 19:00]
>>98
仮に午後5時とする。
片道では、10分短縮。
迎えは午後4時50分にAさんに出会ったことになる。
Aさんは4時00分から歩きはじめて4時50分に出会っているので、
50分あるいた

どうでしょ
101 名前:名無しさん@通りすがり [2002/04/14(日) 08:07]
>>100ゲットの素数さん、正解です!ホント、この板の方は解答が早いですねー。
102 名前:札幌校フェロー [2002/04/17(水) 21:00]
久しぶりに一問。
コインを2枚同時に投げたとき、一枚は表でした。もう一枚が裏である確率はいくらでしょうか?
103 名前:名も無きパズラー [2002/04/23(火) 23:06]
コインの落ち方は
表 表
表 う
う 表
う う
ただし最初に見るコインは
表 表 のときは2通りあるので
表のときも裏のときも2通り
つまり裏なのは5割
104 名前:札幌校フェロー [2002/04/24(水) 01:04]
>>103
残念、違います。一枚表が確定なので、裏×2のパターンは始めから排除されます。
コインを二枚投げて、表が出るパターンは
表 表
表 裏
裏 表
の3パターンのみで、そのうち表一枚、裏一枚なのは2パターン。
よって確率は2/3となります。
いわゆる「条件付き確率」でした。
105 名前:103だけど [2002/04/26(金) 03:52]
表 表
のときは左を最初に見るか
右を最初に見るかで
2通りとして数えるんじゃないんですか?
106 名前:名無しさん@通りすがり [2002/05/04(土) 01:26]
半月以上ぶりですかね、久しぶりに通りすがりました〜。

上の問題ですが、言葉のトリックだと思うんですよ。
「一枚は表でした」が「一枚は表がありました」と言う意味なら、答えは2/3。
これを「先に視界に入ってきた一枚が表でした」と言う意味にとれば、1/2。
ですが、どちらの言い方に変更しても、面白い問題ではなくなりますよね。

以前友人に出題された時は、もっとうまく曖昧な言い回しをされた気がしますが‥‥
あいにく覚えてません(^^ゞ

【類題】を★確率パズルスレッド★の>>21に載せておきまーす。
107 名前:名無しさん@通りすがり [2002/05/06(月) 02:20]
もう遅いので、これだけ出して寝ます‥‥

【問題】1〜2nの自然数がある。ここからn+1個の自然数を任意に選んだ時、
必ずその中には互いに素である自然数の組が、最低一組は存在する事を証明せよ。
ただしnは任意の自然数とする。
108 名前:名も無きパズラー [2002/05/09(木) 18:27]
104はさぁ2通りじゃないの?1枚決まってるんだから考える必要ないんじゃない?一枚のコインが表向いて落ちてるときに一枚コインを投げるのと同じじゃない?
109 名前:名無しさん@通りすがり [2002/05/20(月) 02:40]
>108さん
>106での「2/3にも取れる」理由の説明は、以下のような感じです。
 2枚のコインの表裏(以下○×)の出方=(○,○),(○,×),(×,○),(×,×)
 これら4通りはそれぞれ確率1/4で起こる。この内、
 ○が1枚以上ある出方=(○,○),(○,×),(×,○)の各々について「全事象から見た」確率を考える。
 (○,○)→どちらを「表が1枚ある」判定に使ったとしても、残りは○。∴その確率は(1/8+1/8=)1/4。
 (○,×),(×,○)→○の出た方を判定に使ったのは確実なので、残りは×。∴その確率は1/4+1/4=2/4。
 残りが○の確率:×の確率=1:2なので、×の出る(条件付)確率は2/3となる。

それにしても、誰も>107に反応してくれないのが寂しいです(;:)
110 名前:名無しさん@日々是決戦 [2002/05/20(月) 22:28]
>107
ディリクレの原理。終わり。
111 名前:名無しさん@通りすがり [2002/05/21(火) 01:14]
>110 さん、理解されているのは分かりますが‥‥それでは証明にはなりませんよぉ(困)

【問題】中学レベル・幾何問題
同心円が2本ある。ここで、それらに挟まれた領域(つまりドーナツ型の領域)内に
引ける最大の線分の長さが10の時、その領域の面積を求めよ。
112 名前:名も無きパズラー [2002/07/01(月) 06:32]
ドーナツ型の領域の面積=(大きい円の面積)−(小さい円の面積)
小さい円の直径をxとすると
小さい円の面積=πx二乗
大きい円の面積=π(x二乗+25)
よって求める面積は25π
これは直径10の円の面積に等しい。
113 名前:ばんちゃん [2002/07/01(月) 23:07]
名も無きパズラーさんと同じ答えです。
但しXは直径では無く半径だと思いますが?
線分の長さが10の場合
小さい円の半径をrとすると
大きい円の半径は √(r^2+5^2) ※^2は2乗
これを元に小さい円と大きい円の面積の差を計算すると
π×5^2=25πとなります。

114 名前:112 [2002/07/03(水) 15:48]
ばんちゃんの言うとおりw
書き間違いですね〜半径と直径〜
115 名前:名無しさん@通りすがり [2002/07/07(日) 03:15]
正解です >>112さん、>>ばんちゃんさん。
テキストの掲示板で図形問題が通じてちょっと嬉しいです :-)
116 名前:H大生 [2003/07/30(水) 17:25]
さっきふと気になったことです。
おそらく数学が得意な人にとってはなんてことはない問題だと思いますが,
僕にはどうすればいいのかわからないので誰か解いてください。
(1番だけはさすがにわかります)

あるおまけつきのジュースを買います。
おまけは20種類あり,袋に入っているので中身はまったくわかりません。
1,おまけが1回もダブらずに全種類がそろう確率はいくつでしょうか?
  (20本買ってすべてがそろう確率)
2,ジュースを30本買うまでに全てがそろう確率はいくつでしょうか?
3,全ての種類がそろう確率を50パーセント以上にするには何本のジュースを買う必要が
 あるでしょうか?
117 名前:高2 [2003/08/02(土) 17:48]
>111
なかの円の半径を限りなく0に近づければ
らくじゃない?
118 名前:名無しさん@ [2003/08/03(日) 17:35]
>>116
確かに 1, の問題は簡単です。
2, 及び 3, 辺りになってくると立式が面倒になってきます。
特に 3, については、クーポンコレクター問題でググってみましょう。

>>117
面積が、中の円の半径に依存する関数になるかも知れないので
それでは数学的な答えにはなりません。
119 名前:削除 [削除]
削除
120 名前:◆ub2jlgSc [2006/01/28(土) 01:28]
121 名前:p@ [2010/03/03(水) 15:21]
密室に何人か閉じ困られ(問題を解く人も含める)、魔女が出てきていいました。
「この中の一人だけ助ける。ただし今から言う問題を一番早くといた者だけだ」
問題はこうです。
 全員に白いカードか黒いカードのどちらかを背中に貼り付けてあります。
どちらが貼りついているか自分で見ることはできません。
もし自分の背中のカードの色が分かったら報告しなさい。
正しければ助けてあげます。間違ったらその場で抹殺します。
また、運よく自分以外のカードが全て白だったら報告しなさい。助けてあげます。

ところが魔女は全員の背中に黒いカードを貼り付けていました。

暫くすると最も頭の切れる人が魔女に自分のカードの色を報告しました。
どうやって分かったのでしょう。
122 名前:名無しさん [2014/09/25(木) 13:43]
5 名前:サムライ ★ [2014/08/15(金) 09:28]
削除人も削除依頼人もずいぶんと質が落ちたな  
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