0.99999････＝1か？
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★ミルクカフェ関連リンク集
みなさんの意見聞かせてもらえませんか？
私の中学生を納得させる解法
0.99999･････＝Xとおく。
0.99999･････×10＝10X
9.99999･････＝10X
9.99999･････－X＝10X－X
9＝9X
X＝1 ゆえ
0.9999999･･････＝1
(9.999・・・) - (0.999・・・) =(9.000・・・)
だけれどもこれだけでは
(9.000・・・ ) = 9 といえません
しかし、数学を勉強された方であれば、ダメという人もいるでしょう。
私も他の解法知りません。
教えてください。
0.99999･････は本当に１ですか？
それ明らかに近似じゃん。無限級数の時点で。
0.9+0.09+0.009・・・・
で、初項0.9、公比0.1の等比数列として考えて、取り合えず第n部分和を出すわけよ。
そんで、nの式で出るから、n→∞にすると1になるはず。
でも無限の概念自体が「おおよそ」感が有るから微妙。
nを無限に飛ばすと、0.1^nは0になるじゃん？0.1*0.1*0.1*0.1*0.1*0.1*0.1*0.1.......が無限回続くんだから。
それで、1っていう答えは出るけど、これなら>>1の解法の方が良い気がする。
でも、最終的に数学的に一応は正しいとされる無限等比級数に置き換えて考えた時、n→∞なんだからnもn+1も変わらない気もしないでもない。
その解放のダメなところの一つは、「無限に続く引き算」の概念です。
無限は奥が深いですよ。有限で当たり前なことが、無限でも成り立つとは限りません。
>>6
無限級数は近似ではありません。近似と感じるのは有限のイメージが残っているからです。
>>8
無限回が「とても大きい数」回だと感じていませんか？無限は数ではありませんよ。
いや、無限ほどいい加減な概念はないでしょう。
言葉の上で有限ではないのであって。
低級な煽りには反応しないたちですが、もし宜しければ理論的に反論して欲しい。
まず一つ言えるのは、0.1^n→0(n→∞)と同様に、1/n→0(n→∞)で有るけれども、x軸はy=1/xの漸近線でしかない。
同様に実際の所、0.1^n→0(n→∞)が本質的に正しいかは分からないよ。
∀ε>0、{∃δ>0、[∀x∈D、0<|x-a|<δ⇒ |f (x)-A|<ε]}「[]内が(2)」「{}内が(3)」
⇒(def)lim(x→a)f(x)→A
まず、３次関数を考えて欲しい。んで、極大・極小値のx座標がδ帯、y座標がε帯に入ってるとするのね。
次に、任意の ε(>0)を選んで(1)式によれば、このεについて(2)が成り立つよね？
(2)で存在を主張されている δ を使って３次関数のδ-帯を描きます。さらにさらに、この δ について(3)が成り立つので、
0<|x-a|<δ なる任意のx(∈D) についても、点 (x ，f (x)) は３次関数中央の長方形(ε、δで囲まれる四角)の中に収まっている事が分かります。
この ε と δ に対して、どんな小さな δ’ (0＜δ’≦δ) も、やはり(3)式（の δ を δ’ に変えた式）をみたすと言えますね？
これは、「３次関数内の δ-帯をどんなに縮めて δ’-帯にしても、f (x) のグラフが、ε-帯とδ’-帯の交わる長方形内に収まっている」という事を表します。
以上は、 ε をある数として、固定して考えていました。つまり、どんな小さな ε ( >0) に対しても上述の事が言えることになります。
３次関数内でε-帯の幅をどんなに小さくとっても、そのε-帯に対し、δ-帯の幅δをある値以下にすれば、
f (x) のグラフは中央の長方形内に必ず収まっている、という事になります。
このようにε-帯とδ-帯を限りなく縮めてゆけば、中央の長方形は点 (a，A) へと“収束”してゆきます。
そしてこの長方形内に f (x) のグラフが必ず収まっているのですから、“ x が a へ限りなく近づくと f (x) は A へ限りなく近づく”、つまり“収束している”と言う事ができるのです。
以上の考察から、(1)式は関数の収束という直感的概念の数学的定式化として適切であると結論づける事ができると思います。
要するに、無限の概念は、有る数でも無いし、漠然とした意味なんです。
マジで疲れました。
私のスレがここまで議論が及び、恐縮であり光栄であります。
私が書いたのですが、だいたい0.9999......に10をかけれるのかと疑問に思います。
また引き算も同じです。
数字はきっと人間が作ったものでなく、神様が作ったのでしょうね。
人間がつくったものなら、誰も苦労しないはずですね。
9999......は愛みたいなもので、試したりしてはいけないんだ…
1/9＝0.111...ゆえ、両辺に「×９」をして
9/9(=1)＝0.999... じゃダメなのかなぁ？？？
小学生でもわかると思うけど････。
「小学生でもわかると思うけど」の前に、
「この解法なら、」が抜けておりました。
申し訳ありません。
１７とかうんうんとうなずきながら読んでたし
1÷3×3です。（1÷9×9も同様）
最近の電卓は１になるものもありますが。
関係ない話でした。
でも、17の考え方は新しいですね。
それは>>11,>>13から続く話なのですか？
私も数学の基礎は学びましたが、率直に言って分かりにくい説明だと思います（怒らないで下さいね）
内容が、ではなくて、文章表現が…。答えを知っている人の書き方と言うか。
今から何を説明するのか、そのために用いる言葉の定義は全て説明したか、また言葉は統一されているか、等々に注意された方が良いかと思います。
>>17
世の中には、1/9=0.111...や1/3=0.333...に納得できない人もいますよ。
「３をいくら続けても、３分の１にはならないじゃん！」って。
それは1=0.999...に対して「９をいくら続けても（以下略）」と言うのと同様の感覚で。
1/9=0.111...のように左辺が分数だと、イメージがぼやけて疑問に感じにくいんでしょうね。
なら正しいと感じる？
繰り上がれ、繰り上がれｗ
(QeD)
じゃないよね
割り切れてないんだからさ計算すれば誤差が出るのは当然
割り切れる／割り切れない、の定義は？
はたまた、誤差（が出る）、の定義は？
無限桁、割ったらしいですよ。1=0.9999・・・を計算した人は。
消防の俺にも解ったぞ。
何が解ったの？
その解ったことの他人に説明できる？
○解ったことを他人に