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0.99999・・・・=1か?

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1 名前:オレンジ [2004/11/06(土) 23:00]
さて、議論のある問題だと思います。
みなさんの意見聞かせてもらえませんか?

私の中学生を納得させる解法
0.99999・・・・・=Xとおく。
0.99999・・・・・×10=10X
9.99999・・・・・=10X
9.99999・・・・・−X=10X−X
9=9X
X=1 ゆえ
0.9999999・・・・・・=1
101 名前:名無しさん [2006/10/18(水) 23:58]
??
なぜ

 9.999999…−0.999999…=9

となる?
102 名前:名無しさん [2006/10/19(木) 11:18]
近似値
103 名前:名無しさん [2006/11/27(月) 02:38]
厳密な極限ってうろ覚えだけど
どんなにちいさな数を定義(たとえば0.000001)しようとしても
極限を深くするにつれてそれよりも小さい間の数(たとえば1-0.9999999)を見つけられてしまう
だったら同じ数だってことにしてしまえばいいやん、ってことだよね?あってる?
104 名前:名無しさん [2006/11/27(月) 02:44]
画面が更新されてなくて気付かなかったけどもう103もレスがついてたのな。
完全に話が堂々めぐりしててワラタw哲学問題じゃないんだからwww
105 名前:匿名希望 [2006/11/30(木) 22:46]
>>20見て気づいたんだけどさ。
1÷3×3=1/3×3
ってことだよね?この場合に答えは1になる。
でも、1÷3×3=0.3333333333.....×3
だったら答えは0.9999999999.....になるじゃん。

やっぱり1=0.9999999999.....なんじゃないの?
106 名前:匿名希望 [2006/11/30(木) 22:49]
よく見たら>>71がほぼ同じ事言ってた…
吊ってきますorz
107 名前:名無しさん [2006/12/01(金) 04:45]
だから、1/3≠0.333...だってのw
108 名前:匿名希望 [2006/12/01(金) 17:24]
でもさ、0.333......×3=0.999......
でしょ?
0.999......=1なら
1/3=0.333.....でOKじゃないの?

あーなんか無限ループしてる…
109 名前:名無しさん [2006/12/02(土) 00:29]
 先ず第一に、0.999...=1かどうかが問題なんだから
「0.999......=1なら1/3=0.333.....でOKじゃないの?」
というのは意味がない。
 
110 名前:名無しさん [2006/12/04(月) 20:02]
0.9999…=1の=は左辺イコール右辺の意味ではなく、極限を取るという意味だった気がする
違ってたらすまん
111 名前:名無しさん [2006/12/05(火) 05:06]
そうですね。とするとイコールの意味が異なったものになる。
例え、極限の1とイコールだといっても、それはイコールの意
味を飛躍させてるということになりそう。要するに=の意味を
変えてることになる。結局、等しくないけれども等しいと言っ
てることになる。おかしな等式である。
112 名前:名無しさん [2007/02/07(水) 14:17]
散々既出
> 9.99999・・・・・−X=10X−X
> 9=9X
この行間にトリックがある。
10X - X = 9
9.99999・・ - X = 9
という、前提が異なる別々の式を暗黙に連立させて等号で結んでいる。
113 名前:初めての住人 [2007/02/07(水) 21:00]
この話について行けない・・・。
114 名前:名無しさん [2007/02/07(水) 22:51]
多項式におきかえて途中で煙に巻くトリックとか、いろいろある。
たいてい x=1 について語っていた式が、x=0 について「も」語っている式にすりかえる、というようなものが多い。
数式はただの数値の操作ではなく、言語と同じように文脈や言質というものがある。
無意味に2次方程式にして、解を2つ見つけて、2値が同じだと言うのと同じようなもの。
小学生を釣るにはいいが。
115 名前:ABC [2007/04/12(木) 15:45]
以下は2チャンネルに投稿した別の証明です。
2チャンネルの記事が格納されてしまったのでここに投稿します。

前提 かけ算とわり算の順序を逆にしても答は同じになる。

この前提を正しいと認める人は次に進んでください。

A×9÷9=A÷9×9

この等式を正しいと認める人は次に進んでください。

A=1のとき
左辺は 1×9÷9=1
右辺は1÷9×9=0.1111...×9=0.9999...

蛇足 ケータイの電卓機能を使ってこの計算をするとある会社のケータイは
   右辺も左辺も計算結果が1になります。ということは
   0.9999...=1 が正しいものとしてプログラミングされているということです。
前提により両者は等しい。

よって0.9999...=1 (証明終わり)

蛇足 最近のケータイの中には蒸気の計算が右辺も左辺も
   1になるものがあります。これは 0.9999...=1 を
   正しいものとしてプログラミングしてあるのだと言えるでしょう。
   ちなみに関数電卓では以前からそうなりました。
116 名前:マロ [2007/04/12(木) 21:26]
117 名前:初めての住人 [2007/04/12(木) 21:55]
僕は単に四捨五入で良いと思いますが・・・。逆鱗に触れたらごめんなさい・・・。
118 名前:マロ [2007/04/12(木) 22:03]
。(`∧´)ュュ
119 名前:ABC [2007/04/13(金) 14:53]
すみません、「蒸気」はもちろん「上記」の誤りです。
チェックしないで投稿してしまいました。

お詫びに別の証明をのせます。前の証明もこの証明も
自分で考えたものです。パクリではありません。
仮に他のどこかにあったとしても、偶然の一致です。

循環小数は分数に直すことができる。
なので、0.1111...=9分の1
両辺を9倍すると、0.9999...=9分の9=1 となる。
(証明終わり)

※ ここは2チャンネルと違って言葉遣いが比較的丁寧でいいですね。

※ 興味を示す人がいるなら、もう少し難しい証明を投稿する用意があります。
  ただし、数学の教師でもなかなか分からないしろものです。それについて
  「難しい言葉で煙に巻く政治屋みたいなことすんな!」という反応が
  2ちゃんねるで出ました。難しい証明は勉強しないと分からないんですけど。
  理解する努力をしないで開き直るのはやめましょう。
  アメリカにも同じようなサイトがあります。中身は肯定派と否定派が
  相半ばしています。だけど否定派を肯定派に宗旨替えさせるのが困難なのは
  アメリカでも同じです。
120 名前:名無しさん [2007/04/22(日) 17:26]
まず分数と少数は違うってことを頭に置いとかなきゃねえ。
これは小学校で習う定義でオーケー。
分数なら1を○個に分けたもののうち、△の量を△/○って表す、みたいな。

土台の定義の時点で、分数と小数は違う。
どっちかを、異なったどっちかで表すからずれるんだ。

上記に合った「無限に掛け算が出来るのか?」という疑問に、私は同意します。
いえ、出来ないと思います。
だって私たちには認識できない世界ですから。
この討論は無駄でしょう?
121 名前:色とり忍者 [2007/04/23(月) 23:24]
シュッシュッシュシュシュ赤いキツネ!!
122 名前:色とり忍者 [2007/04/23(月) 23:24]
色とりでごさる!!シュッシュッシュシュシュ赤いキツネ!!
123 名前:ABC [2007/05/08(火) 08:34]
反対党の皆さんは、1>0.9999…であり、しかも両者は隣接していると
思っているのではありませんか? だとすれば、1よりわずかに大きい
隣接数は、1+(1−0.9999…)ということになりますね。

ところが、1と0.9999…の間にはいかなる数も存在しないのです。
(すると主張する方はそれを証明しなければなりません。)

そもそも1より小さい隣接点と、1より大きい隣接点を表すことは
不可能なのです。

孔子は「思いて学ばざれば則ちあやうし」と言いました。
反対党員の皆さんも思ってばかりでなく学習もしましょう。
学習しない人との討論は無駄だと私も感じています。 
124 名前:メ龍 [2007/05/11(金) 20:33]
1-0.999999・・・=0.000000・・・・・・
差がないから
1=0.999999・・・
これはだめ?
125 名前:名無しさん [2007/05/11(金) 21:14]
>>124
だめ。
数学なら普通にlimit使うのが一番らくだと思う。
算数なら*9の方法でいいでしょう。
126 名前:初めての住人 [2007/05/16(水) 23:00]
色取り

シュッシュシュシュシュ!赤いキツネ!シュッシュ!カップラーメン!シュッシュ!ブルーな気持ち!
127 名前:中学生? [2007/08/16(木) 22:51]
1に10をかけたら10になるし
0.01に10をかけたら0.10に。
もし0.999・・・・・・・・・にも10をかけたら9.999・・・・・・・・0になりますよね。
そこに0.999・・・・・・・をひいたら
8.999・・・・・・・1になるから
そこに9を割れば0.999・・・・・・・・・になりますよね。


はいサーセン(^_^;)
128 名前:名無しさん [2007/08/16(木) 23:33]
9.999・・・・・・・・0になるっけ?
129 名前:中学生? [2007/08/17(金) 13:04]
所詮素人考えです
130 名前:削除 [削除]
削除
131 名前:名無しさん [2007/10/01(月) 00:33]
0.999・・・≠1

でok
132 名前:名無しさん [2007/10/01(月) 00:38]
まぁつまり1は1であって1は0.999・・・ではないよな

こんがらがってきた
133 名前:名無しさん [2007/10/14(日) 15:22]
まぁ所詮は近似値だからな
134 名前:名無しさん [2008/02/03(日) 09:42]
0.999…=1 ですよ。
135 名前:名無しさん [2008/05/23(金) 11:43]
0.99999…=(n=0〜無限) 0.9(0.1)^nとして
     =0.9*1/(1-0.1)
    =0.9*1/0.9
     =1
ではだめでしょうか?
136 名前:はげ丸 [2009/05/25(月) 14:14]
私、文系なんですけど、
教養の講義で数学の先生が以下のように言ってました。
1=0.99999999999999999---は本当です。
1/3=0.33333333----だから両辺に3をかけて
1=0.999999----ですよ。
ちなみに一応、旧帝大です。
137 名前:名無しさん [2009/06/29(月) 04:26]
高BとかAになったら習うから
きにすんなww
138 名前:千葉 [2010/02/20(土) 05:22]
オレンジさんへ
Xは変数でしょうか?定数でしょうか?

一般的に変数と考えますと
X=0.9999999・・・・・ とおくことは、できません。
Xは、わからないのですから。

また定数と考えますと
Xを求める方程式は作ることができません。
X=0.9999999・・・・・ と決まっているのですから。

この解法はXを変数としている部分と
定数としている部分がまざっています。

ちなみに
変数とは、これから求めようとする数
定数とは、最初から値が決まっている数
という意味で使っています。
139 名前:千葉 [2010/02/21(日) 06:50]
追加します。
1行目が正しければ2行目は単なる数式です。
2行目を方程式と考えて解く途中でXに代入してはいけません。
4行目の左辺のXに0.9999999・・・・・を代入したことが、まちがいです。

例えば次の方程式を解いてみましょう。
10−X=8
答えは
X=2
この答えは、計算した結果出た答えでXに何かを代入したのではありません。
仮にXに2を代入してみましょう。
10−2=8
これはもう方程式としては成立しません。

ですから5行目の本当の意味とは
左辺だけに (X-0.9999999・・・・・) を足しただけという事になります。

そこで右辺にも同じ数を足してみましょう。
9=10X-0.9999999・・・・・  (新5行目)
この方程式をさらに解くと
X=0.9999999・・・・・
となり何の矛盾もありません。
Xは1ではありません。
140 名前:千葉 [2010/02/27(土) 07:51]
分数や掛け算・割り算を使って証明される方がいますが、間違いだと思います。
(例)
0.9999・・・ = 1÷9×9
          = 9分の1 × 9
          = 1

正しいようにみえますが、間違いです。
9分の1とは、どのような数なのでしょうか。
小数であらわすと 0.1111・・・ です。
このような数を循環小数というそうです。
循環小数は、単に表現方法であって、そのような数値は、ありません。

例えば
0.9999・・・ という数を数直線上で指し示しなさい。
という問題に誰も答えられないということです。
ただ限りなく1に近いことは想像出来ますが、そのような地点は無いということです。

また別の言い方をしますと
1÷9の答えは、小数点以下1が続きますが、どこで終わるのでしょうか。
終わりがありませんよね。
終わりがないということは、計算が完結できないということになります。
つまり、答えは無いということになります。

0.1111・・・ とは
0.1111   と 0.1112   の間
0.11111  と 0.11112  の間
0.111111 と 0.111112 の間
   ・         ・
   ・         ・
   ・         ・
このように循環小数は、数値の範囲は定めることは出来ても、
値を定めることはできません。
つまり、この世に数値として存在しない数字なのです。

よって循環小数は計算式に使えません。
ただ分数の特性上、約分によって無理やり計算できてしまうところがいけないのです。
9分の1とは、本当は計算できない数字なのです。(この世に数値として存在しない数字だから)

結論
循環小数は、この世に数値としては存在しない数字である。
循環小数は、計算してはいけない数字である。(永遠に答えがでないから)
0.9999・・・ は 1 ではありません。

訂正
前回、私は循環小数を計算に使って証明しました。
厳密にいえば、間違いかもしれません。
方程式の解き方の誤りを指摘したかっただけです。
申し訳ありません。
141 名前:削除 [削除]
削除
142 名前:☆☆☆ [2010/06/13(日) 11:44]
0.999・・・=10分の9+10の2乗分の9+・・・(単項式の数をnとする)
      =10分の9+10の2乗分の9+・・・+10のn乗分の9  
       注   nは有限ではない
       10のn乗分のをxとする
   10x=(10分の9+10の2乗分の9+・・・+10のn乗分の9)×10
     =9+10分の9+10の2乗分の9+・・・+10の(n−1)乗分の9
(10x)−x=
9+10分の9+10の2乗分の9+・・・+10の(n−1)乗分の9
−10分の9+10の2乗分の9+・・・+10の(n−1)乗分の9+10のn乗分の9
=9−10のn乗分の9(8.999・・・1)
    9x=9−10のn乗分の9
     x=1−10のn乗分の1
  よって1−0.999・・・=10のn乗分の1である
  これで証明にならないんですかね?
  
143 名前:☆☆☆ [2010/06/13(日) 11:47]
訂正  10のn乗分のをxとする→0.999・・・をxとする
144 名前:削除 [削除]
削除
145 名前:削除 [削除]
削除
146 名前:名無しさん [2011/08/18(木) 23:22]
数研出版 [改訂版] 数学V にも1=0.9999……は正しいとされてる。
147 名前:Holmes [2011/11/27(日) 18:34]
1≠0.9999・・・・なら 
1−0.9999・・・・ は当然答えがでる。 
ではその答えは? 
おそらく0.0000・・・・1 だがその最後の「1」は何桁目かわからない。 
つまり最後の「1」は作る事ができない。よって1≠0.9999・・・・が間違いで 
1=0.9999・・・・ 
どうですか?
148 名前:てんさい [2012/04/25(水) 17:26]
分からないからxを使うんじゃん!

1=0.9999999・・・
なんてあるか―
149 名前:通りすがり [2012/07/06(金) 23:10]
単純に表記の問題。
0.9、0.99、0.999、0.9999、… と続けていったときにこれは「ある数」に近づいていく。
その近づいていく「ある数」の事を数学では0.999…と表すルールになっている。
その「ある数」は1に等しい。
よって0.999…=1
表記が変わっただけで同じものを表している。

参考文献
数学ガールの3巻のゲーテルの不完全性定理

興味があったら読んでみそ
150 名前:名無しさん [2014/03/22(土) 04:10]
0.999…を数字として見ていることがまず間違い
これは1を極限を用いて表示したもの
あくまで数式であって数字ではない
変な例だけど0=lim[x→∞](1/x)と表すのと同じ
151 名前:名無しさん [2015/01/31(土) 22:43]
152 名前:名無しさん [2015/01/31(土) 22:46]
これって証明だから「=」使っていいんだっけ?
153 名前:名無しさん [2017/06/18(日) 04:13]
まずさ、0.99999×10=9.9999じゃないの?ずれてない?結構変わってくると思うんだけど…
154 名前:名無しさん [2017/07/29(土) 11:24]
 >>153
 循環小数(じゅんかんしょうすう)ですよ。
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