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0.99999・・・・=1か?

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14 名前:3/6/ ◆ApOXyHOI [2004/11/07(日) 21:44]
(1)D⊂R、a∈D、A∈Rとしたときに、関数f:D→Rにたいして、
∀ε>0、{∃δ>0、[∀x∈D、0<|x-a|<δ⇒ |f (x)-A|<ε]}「[]内が(2)」「{}内が(3)」
⇒(def)lim(x→a)f(x)→A
まず、3次関数を考えて欲しい。んで、極大・極小値のx座標がδ帯、y座標がε帯に入ってるとするのね。
次に、任意の ε(>0)を選んで(1)式によれば、このεについて(2)が成り立つよね?
(2)で存在を主張されている δ を使って3次関数のδ-帯を描きます。さらにさらに、この δ について(3)が成り立つので、
0<|x-a|<δ なる任意のx(∈D) についても、点 (x ,f (x)) は3次関数中央の長方形(ε、δで囲まれる四角)の中に収まっている事が分かります。
この ε と δ に対して、どんな小さな δ’ (0<δ’≦δ) も、やはり(3)式(の δ を δ’ に変えた式)をみたすと言えますね?
これは、「3次関数内の δ-帯をどんなに縮めて δ’-帯にしても、f (x) のグラフが、ε-帯とδ’-帯の交わる長方形内に収まっている」という事を表します。
以上は、 ε をある数として、固定して考えていました。つまり、どんな小さな ε ( >0) に対しても上述の事が言えることになります。
3次関数内でε-帯の幅をどんなに小さくとっても、そのε-帯に対し、δ-帯の幅δをある値以下にすれば、
f (x) のグラフは中央の長方形内に必ず収まっている、という事になります。
このようにε-帯とδ-帯を限りなく縮めてゆけば、中央の長方形は点 (a,A) へと“収束”してゆきます。
そしてこの長方形内に f (x) のグラフが必ず収まっているのですから、“ x が a へ限りなく近づくと f (x) は A へ限りなく近づく”、つまり“収束している”と言う事ができるのです。
以上の考察から、(1)式は関数の収束という直感的概念の数学的定式化として適切であると結論づける事ができると思います。
要するに、無限の概念は、有る数でも無いし、漠然とした意味なんです。
マジで疲れました。
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書き込みをするには、注意書きをよく読んでからにしてください

名前: コマンド: 上にあげない

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